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<!DOCTYPE html><!-- If you read this message, save that file as a html file, in order to read it correctly --><!-- Copyright (c) 2018. Guy Abossolo Foh. All rights reserved. DO NOT ALTER OR REMOVE COPYRIGHT NOTICES OR THIS FILE HEADER. This code is free software; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License version 2 only, as published by the Free Software Foundation. This code is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License version 2 for more details (a copy is included in the LICENSE file that accompanied this code). You should have received a copy of the GNU General Public License version 2 along with this work; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. Please contact Guy Abossolo Foh, 71 rue Guy de Maupassant 69500 Bron France or visit www.scientificware.com if you need additional information or have any questions. --><html><head><meta charset="UTF-8"></head><body><p>Hi !</p><p></p><p>This is the collections of messages from your correspondenceId with Guy Abossolo Foh (Bouygues).</p><p>It's a HTML file generated by FXMessages X1.</p><p></p><p>You can use a web browser to read it.</p><p></p><p>Best regards</p><p></p><p></p><div id="messages"><div draggable="true" id="4783" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 16:27:26 </div> <div>Montrons que a=<math><mrow><msqrt><mrow><mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></math>∉ℚ. </div></div><div draggable="true" id="4785" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 16:29:56 </div> <div>Supposons que a∈ℚ.<div>Alors il existe m, n∈ℤ tel que a= <math><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>n</mn></mrow></mfrac></mrow></math></div> </div></div><div draggable="true" id="4787" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 16:30:30 </div> <div>On peut aussi supposé que m et n sont premiers entre eux. </div></div><div draggable="true" id="4789" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 16:34:51 </div> <div>D'autre part, a²=2 donc m²=2×n². </div></div><div draggable="true" id="4791" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 16:42:08 </div> <div>On peut aussi affirmer que a est pair. </div></div><div draggable="true" id="4793" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 18:25:15 </div> <div>Lemme 1 : si a est pair alors a² est pair.<div>Lemme 2 : si a est impair alors a² est impair.</div><div>En regroupant les deux on a :</div><div>Lemme 3 : (a pair)⇔(a² impair)</div> </div></div><div draggable="true" id="4795" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 18:29:04 </div> <div>Preuve 1 : Avec les définitions, on a ∃n∈ℤ, a=2×n et dans ce cas a²=(2×n)² d'où a²=2×(2×n²) autrement dit a² est pair. </div></div><div draggable="true" id="4797" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 18:37:41 </div> <div>Preuve 2 : Toujours avec la définition de a, on peut écrire ∃n∈ℤ, a=2×n+1. Ainsi a²=4×n²+4×n+1 ou encore a²=2×(2×n²+2×n)+1. Autrement dit, a² est impair. </div></div><div draggable="true" id="4799" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 18:42:36 </div> <div>Preuve 3 : (a impair)⇒(a² impair) s'écrit aussi (a n'est pas pair)⇒(a² n'est pas pair) qui est la contrariée de (a² pair)⇒(a pair). On obtient alors l'équivalence. </div></div><div draggable="true" id="5087" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 19:04:03 </div> <div>On a déjà établi que m² est pair alors d'après le lemme 3, m est pair. Donc ∃m'∈ℤ, m=2×m' d'où m²=4×(m')².<div>Ainsi 2×(m')²=n² et d'après le lemme 3, on en déduis que n est pair. Si m et n sont tous les deux paires alors la fraction <math><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>n</mn></mrow></mfrac></mrow></math> n'est pas irréductible. Ce qui contredit l'hypothèse de départ donc <math><mrow><msqrt><mrow><mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></math> n'est pas rationnelle.</div> </div></div><div draggable="true" id="5088" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 19:04:04 </div> <div>On a déjà établi que m² est pair alors d'après le lemme 3, m est pair. Donc ∃m'∈ℤ, m=2×m' d'où m²=4×(m')².<div>Ainsi 2×(m')²=n² et d'après le lemme 3, on en déduis que n est pair. Si m et n sont tous les deux paires alors la fraction <math><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>n</mn></mrow></mfrac></mrow></math> n'est pas irréductible. Ce qui contredit l'hypothèse de départ donc <math><mrow><msqrt><mrow><mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></math> n'est pas rationnelle.</div> </div></div><div draggable="true" id="5091" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 19:07:02 </div> <div>Fggg </div></div><div draggable="true" id="5092" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 19:07:05 </div> <div> </div></div><div draggable="true" id="5095" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 19:07:11 </div> <div>Fffffff </div></div><div draggable="true" id="5240" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 22:34:34 </div> <div>Toute valeur d'adhérence d'une suite de Cauchy dans un espace complet et la limite de cette suite. </div></div><div draggable="true" id="5242" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 22:43:19 </div> <div><div style="text-align: center;">Soit b une valeur d'adhérence de la suite (<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>n</mn></mrow></msub></mrow></math>) et ε>0 montrons que l'on peut savoir ∀m≥<math><mrow><msub><mrow><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></math>, d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>m</mn></mrow></msub></mrow></math>,b)<ε</div> </div></div><div draggable="true" id="5244" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 22:51:32 </div> <div>En utilisant la propriété de l'inégalité triangulaire on a :<div>d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>m</mn></mrow></msub></mrow></math>,b)≤d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>m</mn></mrow></msub></mrow></math>,<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></math>)+d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></math>,b)</div> </div></div><div draggable="true" id="5246" class="mymessages"> <div class="date">mar. 19 févr. 2019 23:05:51 </div> <div><div style="text-align: center;">La propriété de Cauchy permet d'écrire que : ∃<math><mrow><msub><mrow><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>;( m,<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></math>≥ <math><mrow><msub><mrow><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>)⇒(d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>m</mn></mrow></msub></mrow></math>,<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></math>)<<math><mrow><mfrac><mrow><mn>ε</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>)</div> </div></div><div draggable="true" id="5248" class="mymessages"> <div class="date">mer. 20 févr. 2019 06:55:07 </div> <div>La propriété de Cauchy permet d'écrire que : ∃<math><mrow><msub><mrow><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>;(m,<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>≥<math><mrow><msub><mrow><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>)⇒(d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>m</mn></mrow></msub></mrow></math>,<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></math>)<<math><mrow><mfrac><mrow><mn>ε</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>). </div></div><div draggable="true" id="5250" class="mymessages"> <div class="date">mer. 20 févr. 2019 07:03:56 </div> <div>La définition de la valeur d'adhérence permet d'écrire que : ∃<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math>≥<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>;d(<math><mrow><msub><mrow><mn>x</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></math>,b)<<math><mrow><mfrac><mrow><mn>ε</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>. </div></div><div draggable="true" id="5252" class="mymessages"> <div class="date">mer. 20 févr. 2019 07:06:36 </div> <div>Il suffit alors de prendre <math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math>=<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></math>. </div></div><div draggable="true" id="5254" class="mymessages"> <div class="date">mer. 20 févr. 2019 07:09:12 </div> <div>Il suffit alors de prendre : <math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></math>=<math><mrow><msub><mrow><mn>m</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math> </div></div> </div> </div></div></body></html>