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post(symbolicai): kb with set theory

Author: ghost242

docs/ai/symbolic/2025-12-27-set-theory-for-kb.md

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+layout: post
+title: Knowledge Base 2. Knowledge Base의 수학적 모델링
+subtitle: 집합 이론과 Knowledge Base의 관계에 대해서
+parent: Symbolic AI
+grand_parent: AI
+comments: true
+categories: ["Programming", "Symbolic", "Knowledge Base"]
+tag: ["Knowledge Base", "Set Theory", "Logic"]
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+## 문제 인식
+
+이전 포스트에서 `Knowledge Base`를 `Fact`, `Rule`로 이루어진 데이터 구조로써 다뤄봤다. 이 내용을 엄밀하게 다루기 위해서 자료를 조사하고 GPT를 이용해서 내용을 정리해보던 중에 한가지 느꼈던 문제가 있었는데, 이 데이터 구조를 수학적으로는 어떻게 다룰 수 있는지 더 원론적인 내용으로 접근해볼 필요가 있다는 것이었다. 이런 직관은 앞서 작성했던 `Knowledge Base`와 `Inference Engine`을 통합해서 시스템으로 확장해 나가는 중에 느꼈던 문제가 포함되어있다.
+
+## 집합과 지식 기반의 관계
+
+`Prolog`에서 `Fact`, `Rule`, `Query` 세가지 구성요소가 있다고 했지만, `Fact`를 구성하는 `Element`가 반드시 필요하다. 3단논법을 다시 한번 예로 들어보면 이러하다.
+
+> 1. 모든 사람은 죽는다.
+> 2. 소크라테스는 사람이다.
+> 3. 소크라테스는 죽는다.
+
+이걸 집합으로 표현하면 이러하다.
+
+> 1. $Socrates \in Human$
+> 2. $Human \subseteq Mortal$
+> 3. Then, $Socrates \in Mortal$
+
+위 수식들은 "`Socrates`는 `Human`의 속해있고, `Human`은 `Mortal`의 부분집합이기 때문에, `Socrates`는 Mortal에 속한다", 라는 논리를 표현한다. 이렇게 표현했을 때 집합의 요소들과 `Knowledge Base`의 요소가 어떻게 연관되는지 알 수 있다.
+
+> * Element ↔ Socrates
+> * Fact ↔ $Socrates \in Human$
+> * Rule ↔ $Human \subseteq Mortal$
+> * Query ↔ $Socrates \in Mortal$
+
+여기서 Query는 3단논법에서는 결론에 해당하지만, `Inference Engine`이 입력받는 질의로도 이해할 수 있다. 만약 $Socrates \in Mortal$ 가 Query가 아니고 이미 `Knowledge Base`에 있는 정보라면, `Fact`로 분류할 수도 있다.
+
+### 지식 기반의 시각화
+
+앞에서 정의한 집합 관계를 간단한 다이어그램으로 표현하면 이렇게 볼 수 있다. 그 뒤에 이걸 직관적으로 이해할 수 있다는 사실도 알게되었다.
+
+``` mermaid
+graph
+    subgraph Mortal
+        subgraph Human
+            e((Socrates))
+        end
+    end   
+```
+
+그림으로 그렸을 때 `Mortal`은 `Socrates`를 갖고있는 `Human`을 부분집합으로 갖고있다. 따라서 3단 논리에서 1, 2를 `Knowledge Base`에 갖고 있다면, `Socrates`가 `Mortal`에 속한다는 것을 추론해낼 수 있는 것이다.
+
+지금은 단순한 논리 구조 만으로도 `Knowledge Base` 안에서 새로운 `Fact`를 추론하는 것을 집합 이론을 기반으로 정리한 후 이 과정을 직관적으로 이해기위해 시각화 해본 내용을 정리해봤다.
+
+## 지식 기반의 추론과 검증
+
+추론, 검증을 보기 전에 `Knowledge Base`의 특징에 따라 결과의 해석이 어떻게 다르게 발생하는지 먼저 정리가 필요하다. 이 특징은 "외부에서 새로운 정보가 입력될 수 있는지"인데, 어떻게 다른지 먼저 정리할 필요가 있다.
+
+### 열린계와 닫힌계
+
+`Knowledge Base`가 외부의 정보에대해 열려있는 구조를 `Open-world`라고 하고, 외부의 정보가 차단되어있는 시스템을 `Closed-world`라고 한다. 이렇게 `Fact`, `Rule`이 계속 추가될 수 있는지 없는지에 따라 질의에 대한 `Closed-world Knowledge Base`에서는 `True`, `False`로 정의되고, 여기에 `Open-world Knowledge Base`에서는 `Unknown`이라는 결론이 추가된다.
+
+이 `Unknown`이라는 미묘한 결과가 어떤 방식으로 나올 수 있는지 처음에 제시한 3단논법으로 구축한 `Knowledge Base`에 새로운 `Fact`와 `Rule`을 추가해서 사례를 만들어보았다.
+
+> 1. Athena는 God이다.
+> 2. God은 Immortal이다.
+> 3. 그러므로 Athena는 Immortal이다.
+
+이렇게 의미상 반대인 Mortal/Immortal로 `Knowledge Base`를 구축하고 나면,
+
+> * Socrates는 Immortal이다.
+
+이렇게 서로 반대인 의미로 해석될 수 있는 질의가 입력되면 결과가 당연히 `False`라고 생각할 수 있다. 하지만 `Open-world`로 정의된 `Knowledge Base`에서는 그 결과가 `Unknown`이 될 수 있다.
+
+더 자세하게 파고들어 케이스를 정리해보면, 이 `Knowledge Base`안에서, _"Socrates는 Human이다"_ 라는 명제는 이미 `Knowledge Base` 안에서 `Fact`이기 때문에 이 질의에 대한 결론은 `True`로 명확하다. 하지만 _"Socrates는 Immortal이다"_ 는 `Fact`로 정의되어있지 않고, 추론을 통해서 얻을 수 없는 명제이다. 이러한 명제가 질의로 입력되면 `Closed-World`에서는 `False`로 결정할 수 있지만, `Open_World`에서는 `Unknown`으로 추론 결과를 해석하는 것이 가능하다.
+
+### 지식 기반의 확장
+
+지식 기반의 복잡도를 높여서 추론 문제를 보면 좋을것 같아 지식 기반을 확장해봤다.
+
+``` mermaid
+graph
+    subgraph Universal Set
+    direction TB
+        subgraph Mortal
+        direction TB
+            subgraph Human
+            direction TB
+                e((Socrates))
+            end
+            subgraph Insect
+            direction TB
+                a((Fly))
+                b((Ladybug))
+            end
+        end
+
+        subgraph Immortal
+        direction TB
+            subgraph God
+                f((Athena))
+            end
+            subgraph Atom
+            direction TB
+                t((Hydrogen))
+                r((Neon))
+            end
+        end
+    end
+```
+
+> 1. $Atom = \{Hydrogen, Neon\}$
+> 2. $God = \{Athena\}$
+> 3. $Insect = \{Fly, Ladybug\}$
+> 4. $Human = \{Socrates\}$
+> 5. $Immortal \supseteq Atom \cup God \text{ and } \emptyset \equiv Atom \cap God$
+> 6. $Mortal \supseteq Insect \cup Human \text{ and } \emptyset \equiv Insect \cap Human$
+> 7. $U \supseteq Immortal \cup Mortal \text{ and } \emptyset \equiv Immortal \cap Mortal$
+
+이 수식에서 1에서 4까지 집합을 정의하고, 5에서 7까지는 집합간의 포함관계를 정의한 내용이다. 위에 정의되어있는 집합들에 대한 포함관계가 중요한데, Immortal과 Mortal, Atom과 God, Insect와 Human은 각각이 서로소인 관계라는 것이다. 물론 현실세계의 모델을 `Knowledge Base`에 `Fact`와 `Rule`로 구축한다면 이보다는 훨씬 복잡한 집합 구조가 필요할 것이다.
+
+### 수학적 모델링이 중요한 이유
+
+이렇게 `Knowledge Base`이 수학적으로 모델링될 수 있다는 것을 간단한 사례를 이용해서 전개해봤는데, 여기서는 수학적 모델링이 중요하다는 것을 정리해보려고 한다.
+
+크게는 두가지 이유를 들 수 있는데, 첫번째로는 명확한 논리 구조와 수학적 모델링이 안되어있는 `Knowledge Base`의 크기가 커졌을 때, 부분적으로 개념이 충돌하거나 논리적으로 모순이 발생하는지 알기가 어렵다. 따라서 검증가능한 수학적 모델이 반드시 필요하다.
+
+또한 새로운 `Fact`가 입력될 때 기존의 논리 구조에 대해서도 적합한지 검증할 때도 유용하게 활용할 수 있다. 위의 `Knowledge Base`에 새로운 `Fact`인 "Socrates는 Immortal이다"를 입력한다고 가정해보면, 수학적 모델을 배제한 상태로 논리적으로 모순인지 알기위해서는 일일이 `Fact`와 연결된 `Rule`을 대조하면서 찾아내야 한다. 하지만 이걸 집합으로 표현해보면 간단히 모순이 발생하고 있음을 알 수 있다.
+
+$\text{If }Socrates \in Immortal,$
+
+위의 명제를 참으로 가정하고 정의되어있는 `Knowledge Base`를 전개해보면 아래와 같이 표현된다.
+
+> 1. $U \supseteq Mortal \cup Immortal \text{ and } \emptyset \equiv Mortal \cap Immortal$</br>
+> 2. $Socrates \in Mortal$</br>
+> 3. $\therefore Socrates \in Mortal \text{ and } Socrates \in Immortal$</br>
+
+1번을 통해 `Mortal`과 `Immortal`의 교집합이 공집합임을 알 수 있고, 2를 통해서 Socrates는 Mortal에 속하는 요소임을 알 수 있다. 그런데 초기 가정인 $Socrates \in Immortal$이 참이기 때문에 결론에서 Socrates는 Mortal에 속하면서 동시에 Immortal에 속하게된다. 이 내용을 수식으로 표현한 것이 3번인데, 이 자체가 모순이기 때문에 이 가정 자체가 거짓이라는 것을 알 수 있다.
+
+다시 말해, `Knowledge Base`는 논리적 모순이 없음을 증명하고, 새로운 `Fact`를 검증할 때 집합을 통해 정의한 모델을 활용하면 빠르고 명확하게 결과를 얻어낼 수 있다.
+
+## 결론
+
+이 글을 작성하기 전에, `Knowledge Base`를 집합으로 이해할 수 있지 않을까 하는 직관적인 접근이 먼저 있었다. 그리고 그걸 위해 간단한 집합을 공부하고 적용해보면서 수학적 모델이 얼마나 강력한지 확실히 느낄 수 있었다. 그래서 이후에 `Knowledge Base`를 구축하고 활용해야 할 때 참고하기 위한 목적으로 단순화해서 정리한 글이다.
+
+다음에는 지금 이 글을 바탕으로 지식을 표현하는 또 다른 방법으로 `Graph` 이론을 도입했을 때 `Knowledge Base`가 얼마나 강력해지는지, 왜 `Knowledge Graph`가 만들어지게 되는지 알아보려고 한다.