acwing: add second method 900_integer_partition.go

Author: CodeWater404

algorithm/src/acwing/algorithmBasicCourse/5_dynamic_programming/900_integer_partition.go

@@ -12,23 +12,78 @@ import (
 的有多少个。
 */
 
+// const N, mod = 1010, 1e9 + 7
+
+// var (
+// 	n int
+// 	// f[j]:是整数j的划分数量
+// 	f [N]int
+// )
+
+// func main() {
+// 	fmt.Scan(&n)
+
+// 	f[0] = 1
+// 	for i := 1; i <= n; i++ {
+// 		for j := i; j <= n; j++ {
+// 			f[j] = (f[j] + f[j-i]) % mod
+// 		}
+// 	}
+
+// 	fmt.Println(f[n])
+// }
+
+/*
+按照每个方案中最小的数是否大于1来划分状态,可以划分为两类：
+1. 最小值是1的
+2. 最小值严格大于1的
+*/
+
 const N, mod = 1010, 1e9 + 7
 
 var (
 	n int
-	// f[j]:是整数j的划分数量
-	f [N]int
+	// f[i][j]: 总和是i的，恰好用j个数表示的方案数
+	f [N][N]int
 )
 
 func main() {
 	fmt.Scan(&n)
 
-	f[0] = 1
+	// 初始状态，总和0用0个数表示的方案数有1个
+	f[0][0] = 1
 	for i := 1; i <= n; i++ {
-		for j := i; j <= n; j++ {
-			f[j] = (f[j] + f[j-i]) % mod
+		for j := 1; j <= i; j++ {
+			/*
+			   f[i][j]: 包含两种状态，方案数根据两种状态的上一步状态推算而来。
+			   1. 最小值是1的部分：这部分每个方案去掉一个1，每个方案总和是i-1，个数是j-1个，方案数
+			   不变。那么此时状态方程可以表示为f[i - 1][j - 1]，也就是说f[i - 1][j - 1]和f[i][j]最
+			   小值是1的部分方案数一样。
+			   例如，对于总和为5，用3个数表示的方案中，包含数字1的有：
+			   - [1,1,3]
+			   - [1,2,2]
+			   如果从每个方案中移除一个1，就得到：
+			   - [1,3] (总和为4，用2个数)
+			   - [2,2] (总和为4，用2个数)
+			   这正好对应f[4][2]，即f[i-1][j-1]。
+
+			   2. 最小值大于1的部分： 这部分每个方案里面的每个数减掉一个1，每个方案总和变成i-j，但个数
+			   不变。此时状态方程f[i-j][j]，也就是对应f[i][j]最小值大于1的部分的方案数。
+			   例如，对于总和为7，用3个数表示且所有数字都大于1的方案：
+			   - [2,2,3]
+			   如果从每个数字中都减去1，就得到：
+			   - [1,1,2] (总和为4，仍然用3个数)
+			   这对应于f[4][3]，即f[i-j][j]。
+
+			   注意两个部分的方程反向推断的意思。
+			*/
+			f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-j][j]) % mod
 		}
 	}
 
-	fmt.Println(f[n])
+	res := 0
+	for i := 1; i <= n; i++ {
+		res = (res + f[n][i]) % mod
+	}
+	fmt.Println(res)
 }